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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 160 — #166
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160 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

de sus estados un tiempo expo-
nencial, al cabo del cual salta X t ω
una unidad hacia arriba o una
unidad hacia abajo de acuerdo 3
alas probabilidades arriba indi- 2
cadas. Un salto hacia arriba se
interpreta como un nacimiento, 1
mientras que un salto hacia aba-
t
jo representa una muerte. Una
posible trayectoria de este pro-
Figura 5.4
ceso se muestra en la Figura 5.4
con X 0 0. La variable X t
puede interpretarse como el n´umero de individuos en una poblaci´on al tiem-
po t,en donde pueden presentarse nacimientos y muertes de individuos, uno

ala vez. Como λ 0 0y µ 0 0, la poblaci´on puede crecer cuando se en-
cuentre en el estado cero, pero nunca decrecer por abajo de esenivel.
Otra manera alternativa de definir a los procesos de nacimiento y muerte es
atrav´es de los siguientes postulados:

a) Los incrementos son independientes y estacionarios
b) Las probabilidades de transici´on son estacionarias, es decir,

p ij t P X t s j X s i .

Cuando h 0,

c) p i,i 1 h λ i h o h , para i 0.

d) p i,i 1 h µ i h o h , para i 1.
e) p i,i h 1 λ i µ i h o h , para i 0.

Como antes, las constantes λ 0 , λ 1 ,... son par´ametros no negativos con λ 0 es-
trictamente positivo, y corresponden a las tasas de nacimiento, y µ 0 ,µ 1 ,µ 2 ,...
son las tasas de muerte, con µ 0 0. No es una consecuencia que se pueda
obtener de manera inmediata pero con ayuda de estos postulados se puede
demostrar que el tiempo de estancia en cada estado i tiene distribuci´on ex-
ponencial de par´ametro λ i µ i ,y que las probabilidades de saltos est´an
dadas por la expresi´on (5.11).

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