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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 156 — #162
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156 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

2. p ij t g ij t o t , para i j.

Observe que las dos f´ormulas de la proposici´on anterior corresponden al
desarrollo de la serie de Taylor de la funci´on p ij t alrededor de cero hasta
el t´ermino lineal.

5.3. Ecuaciones de Kolmogorov

Ecuaciones retrospectivas
En t´erminos de los par´ametros infinitesimales, el sistema de ecuaciones dife-
renciales dado por la expresi´on (5.2) puede escribirse de lasiguiente forma:

p ij t g ik p kj t . (5.8)
k
En t´erminos de matrices esta igualdad se escribe como sigue

P t GP t . (5.9)

Expl´ıcitamente,

p 00 t p 01 t λ 0 λ 0 p 01 p 00 t p 01 t
p t p t λ 1 p 10 λ 1 p 10 t p 11 t
10 11 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aeste sistema de ecuaciones diferenciales se le conoce como las ecuaciones
retrospectivas de Kolmogorov. Un poco m´as adelante explicaremos el origen
de este nombre y daremos un mecanismo para recordar la escritura exacta
de este sistema de ecuaciones para una cadena de Markov particular: los
procesos de nacimiento y muerte.

Ejemplo 5.6 (Proceso de Poisson) El sistema de ecuaciones retrospec-
tivas de Kolmogorov para el proceso de Poisson de par´ametro λ est´a dado
por

p t λp ii t
ii
p ij t λp ij t λp i 1,j t para i j.

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