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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 153 — #159
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5.2. El generador infinitesimal 153

interesante pues permite expresar a las probabilidades de transici´on p ij t ,
para cualquier tiempo t 0, en t´erminos de probabilidades infinitesimales,
es decir, probabilidades de transici´on en intervalos de tiempo de longitud
muy peque˜na. Por ejemplo, para cualquier n natural se puede escribir

p ij t p i,k 1 t n p k 1,k 2 t n p k n 1,j t n .
k 1,...,k n 1

Esto quiere decir que es suficiente conocer el comportamientode p ij t en
tiempos t peque˜nos para conocer su comportamiento para cualquier t 0.
Especificaremos con detalle este resultado m´as adelante.

5.2. El generador infinitesimal

De la f´ormula general (5.1) es inmediato observar que las probabilidades de
transici´on p ij t de una cadena de Markov a tiempo continuo son funciones
continuas en t,y en particular elintegrando en (5.1) es una funci´on continua.
Esto implica que la integral es diferenciable y por lo tanto lafunci´on t
p ij t tambi´en es diferenciable, con derivada como se indica a continuaci´on.

Proposici´on 5.3 Para cualquier par de estados i y j,y para cualquier
t 0,

p ij t λ i p ij t λ i p ik p kj t . (5.2)
k i

Demostraci´on. Derivando directamente la identidad (5.1) se obtiene la
expresi´on anunciada. !

La ecuaci´on (5.2) constituye todo un sistema de ecuaciones diferenciales
para las probabilidades de transici´on p ij t ,en donde, como se indica en la
f´ormula, la derivada p ij t puede depender de todas las probabilidades de
transici´on de la forma p kj t para k i.Observe que la derivada p t es
ij
una funci´on continua del tiempo. Tomando ahora el l´ımite cuando t 0, se

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