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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 154 — #160
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154 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

tiene que

p ij 0 λ i δ ij λ i p ik δ kj
k i
λ i δ ij λ i p ij
λ i si i j,
λ i p ij si i j.
Definici´on 5.2 Alas cantidades p ij 0 se les denota por g ij ,y seles conoce
con el nombre de par´ametros infinitesimales del proceso. Es decir, estos
par´ametros son
λ i si i j,
g ij (5.3)
λ i p ij si i j.
Haciendo variar los ´ındices i y j,estos nuevos par´ametros conforman una
matriz G llamada el generador infinitesimal del proceso de Markov, es decir,

λ 0 λ 0 p 01 λ 0 p 02
λ 1 p 10 λ 1 λ 1 p 12
G . (5.4)
λ 2 p 20 λ 2 p 21 λ 2
. . . . . . . . .

Esta matriz determina de manera ´unica el comportamiento de la cadena
de Markov a tiempo continuo, y es el concepto equivalente a la matriz de
probabilidades de transici´on en un paso para cadenas a tiempo discreto. Se
trata de una matriz con las siguientes propiedades:

a) g ij 0, si i j.

b) g ii 0.
c) g ij 0.
j
La demostraci´on de estas afirmaciones se sigue de la ecuaci´on (5.3), en
0
particular la ´ultima propiedad se obtiene a partir del hechode que p ii
pues,
g ij λ i λ i p ij λ i λ i 1 p ii 0.
j j i
Observe que la situaci´on cuando g ii 0corresponde al caso cuando el estado
i es absorbente, es decir, cuando λ i 0.

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