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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 151 — #157
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5.1. Probabilidades de transici´ on 151

En notaci´on matricial,

p 00 t p 01 t 1 µ λ 1 λ λ λ µ t
e .
p 10 t p 11 t λ µ µ λ λ µ µ µ

5.1. Probabilidades de transici´on

Hemos mencionado antes que para una cadena de Markov a tiempo continuo
las probabilidades de transici´on son los n´umeros p ij t P X t j X 0 i .
El problema que uno puede plantearse es encontrar una expresi´on para las
probabilidades de transici´on p ij t para cada par de estados i y j,y para cada
tiempo t 0. Este es un problema demasiado general y s´olo en algunos pocos
casos es posible encontrar expl´ıcitamente tales probabilidades. El siguiente
resultado, sin embargo, nos permitir´a obtener algunas conclusiones generales
acerca de estas funciones.

Proposici´on 5.1 Sean i y j dos estados. Para cualquier t 0,
t
p ij t δ ij e λ i t λ i e λ i t e λ i s p ik p kj s ds. (5.1)
0
k i
Demostraci´on. Si i es un estado absorbente, es decir, si λ i 0, entonces
la f´ormula de la proposici´on se reduce a p ij t δ ij ,lo cual es evidente. Si,
en cambio, i no es un estado absorbente, entonces

p ij t P X t j X 0 i
P X t j, T i t X 0 i P X t j, T i t X 0 i
t
δ ij e λ i t f j, u i du
X t,T i X 0
0
t
δ ij e λ i t f j, k, u i du,
X t,X u,T i X 0
0 k i
en donde por la propiedad de Markov y la independencia,

f j, k, u i f j k, u, i
X t,X u,T i X 0 X t X u,T i ,X 0
f k u, i f u i
X u T i ,X 0 T i X 0
p kj t u p ik λ i e λ i u .

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