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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 152 — #158
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152 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo
Por lo tanto,
t
p ij t δ ij e λ i t λ i e λ i u p ik p kj t u du.
0 k i
Haciendo el cambio de variable s u t u en la integral se obtiene el
resultado. !
Las probabilidades de transici´on satisfacen tambi´en una versi´on continua de
la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov, que en este caso se conoce como la
propiedad de semigrupo.
Proposici´on 5.2 (Ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov) Para cualquier
par de estados i y j,y para todo t 0 y s 0,
p ij t s p ik t p kj s .
k
En notaci´on matricial, P t s P t P s .
Demostraci´on. Por la propiedad de Markov,
p ij t s P X t s j X 0 i
P X t s j, X t k X 0 i
k
P X t s j X t k P X t k X 0 i
k
p ik t p kj s .
k
!
Por lo tanto, la colecci´on P t : t 0 constituye un semigrupo de matrices,
esto quiere decir que cumple las siguientes propiedades:
a) P 0 I,en donde I es la matriz identidad.
b) P t s P t P s ,para cualesquiera t, s 0.
Por otro lado, observemos que la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov es muy
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