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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 157 — #163
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5.3. Ecuaciones de Kolmogorov 157

Ysabemos que la soluci´on es

λt j i
p ij t e λt para i j.
j i !

Ejemplo 5.7 (Cadena de dos estados) El sistema de ecuaciones retros-
pectivas de Kolmogorov para la cadena de Markov de dos estadosdefinida
en el Ejemplo 5.3 est´a dado por

p 00 t λ p 00 t λ p 10 t ,
p 01 t λ p 01 t λ p 11 t ,

p 10 t µp 10 t µp 00 t ,
p 11 t µp 11 t µp 01 t .

Resolveremos este sistema de ecuaciones y encontraremos lasprobabilida-
des de transici´on para esta cadena. Observe que el primer parde ecuaciones
est´an acopladas, y lo mismo se presenta con el segundo par de ecuaciones.
Estos dos sistemas de ecuaciones son independientes uno del otro y tienen
la misma forma aunque con par´ametros posiblemente distintos. Es suficiente
entonces resolver uno de estos dos sistemas para tambi´en conocer la solu-
µt
λt
ci´on del otro. Definiendo q 00 t e p 00 t ,y q 10 t e p 10 t ,el primer
sistema de ecuaciones se reduce y toma la siguiente forma
q 00 t λ e λ µ t q 10 t ,
q 10 t µe µ λ t q 00 t .

Derivando la primera ecuaci´on e incorporando la segunda se obtiene la
ecuaci´on diferencial

q 00 t µ λ q 00 t λµq 00 t 0,

con condiciones iniciales q 00 0 1,y q 00 0 λ.La ecuaci´on carac-
ter´ıstica asociada a esta ecuaci´on de segundo orden es r 2 µ λ r λµ 0,
cuyas ra´ıces son r 1 λ y r 2 µ.La soluci´on general es entonces dela
forma
q 00 t c 1 e r 1 t c 2 e r 2 t .

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