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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 87 — #93
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1.15 Teorema de Bayes 87

Teorema 1.2 (Teorema de Bayes) Sea B 1 ,... ,B n una partici´on de
Ω tal que PpB i q‰ 0, i “ 1,... ,n.Sea A un evento tal que PpAq‰ 0.
Entonces para cada j “ 1, 2,... ,n,

PpA | B j qPpB j q
PpB j | Aq“ .
n
ÿ
PpA | B i qPpB i q
i“1

Demostraci´on. Por definici´on de probabilidad condicional, y despu´es
usando el teorema de probabilidad total, tenemos que para cada j “ 1,... ,n,

PpA X B j q PpA | B j qPpB j q
PpB j | Aq“ “ n .
PpAq ÿ
PpA | B i qPpB i q
i“1
‚
c
Cuando la partici´on de Ω consta de los elementos B y B , el teorema de
Bayes para el evento B adquiere la forma

PpA | BqPpBq
PpB | Aq“ c c .
PpA | BqPpBq` PpA | B qPpB q
Y cuando la partici´on consta de un n´umero infinito numerable de elemen-
tos, el teorema de Bayes tiene la siguiente extensi´on ligera, la cual se pide
demostrar en el Ejercicio 159 en la p´agina 104, para j “ 1, 2,...

PpA | B j qPpB j q
PpB j | Aq“ .
8
ÿ
PpA | B i qPpB i q
i“1
Veamos ahora algunos ejemplos de aplicaci´on del teorema de Bayes.

Ejemplo 1.25 En una f´abrica hay dos m´aquinas. La m´aquina 1 realiza el
60 % de la producci´on total y la m´aquina 2 el 40 %. De su producci´on total,
la m´aquina 1 produce 3 % de material defectuoso, la 2 el 5 %. El asunto es

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