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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 111 — #117
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2.1 Variables aleatorias 111

Por ejemplo, consideremos que el conjunto A es el intervalo pa, bq, entonces
el evento pX Ppa, bqq tambi´en puede escribirse como pa ă X ă bq yes una
abreviaci´on del evento

t ω P Ω : a ă Xpωq ă b u.

Como otro ejemplo, considere que el conjunto A es el intervalo infinito
p´8,xs para alg´un valor real x fijo. Entonces el evento pX P p´8,xsq
tambi´en puede escribirse de manera breve como pX ď xq y significa

t ω P Ω : ´8 ă Xpωq ď x u,

que es justamente el conjunto al que se hace referencia en la expresi´on (2.1)
de la definici´on anterior. A esta propiedad se le conoce como la condici´on
de medibilidad de la funci´on X respecto de la σ-´algebra F del espacio de
probabilidad y la σ-´algebra de Borel de R. No haremos mayor ´enfasis en
la verificaci´on de esta condici´on para cada variable aleatoria que se defina,
pero dicha propiedad es importante pues permite trasladar la medida de
probabilidad del espacio de probabilidad a la σ-´algebra de Borel de R del
siguiente modo.

Medida de probabilidad inducida
Para cualquier intervalo de la forma p´8,xs se puede obtener su imagen
inversa bajo X,es decir, X ´1 p´8,xs“tω P Ω : Xpωq ď xu. Como este
conjunto pertenece a F por la condici´on (2.1), se puede aplicar la medida
de probabilidad P pues ´esta tiene como dominio F. As´ı, mediante la
funci´on X puede trasladarse la medida de probabilidad P a intervalos
de la forma p´8,xs y puede demostrarse que ello es suficiente para
extenderla a la totalidad de la σ-´algebra de Borel de R.

A esta nueva medida de probabilidad se le denota por P X p¨q y se le llama
la medida de probabilidad inducida por la variable aleatoria X. Por sim-
plicidad omitiremos el sub´ındice del t´ermino P X , de modo que adoptar´a la
misma notaci´on que la medida de probabilidad del espacio de probabilidad
original pΩ, F,Pq. De esta forma, tenemos un nuevo espacio de probabili-
dad pR, BpRq,Pq, v´ease la Figura 2.2, el cual tomaremos como elemento
base de ahora en adelante sin hacer mayor ´enfasis en ello.

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