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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 110 — #116
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110 2. Variables aleatorias

En ocasiones, el t´ermino variable aleatoria se escribe de manera breve como
v.a. y su plural con una s al final. La condici´on (2.1) ser´a justificada m´as
adelante. Supongamos entonces que se efect´ua el experimento aleatorio una
vez y se obtiene un resultado ω en Ω. Al transformar este resultado con la
variable aleatoria X se obtiene un n´umero real Xpωq“ x. As´ı, una variable
aleatoria es una funci´on determinista y no es variable ni aleatoria, sin em-
bargo tales t´erminos se justifican al considerar que los posibles resultados
del experimento aleatorio son los diferentes n´umeros reales x que la funci´on
X puede tomar. De manera informal, uno puede pensar tambi´en queuna
variable aleatoria es una pregunta o medici´on que se hace sobre cada uno de
los resultados del experimento aleatorio y cuya respuesta es un n´umero real,
as´ı cada resultado ω tiene asociado un ´unico n´umero x. De manera gr´afica
se ilustra el concepto de variable aleatoria en la Figura 2.1.

X

ω x R
Ω

Figura 2.1

En lo sucesivo emplearemos la siguiente notaci´on: si A es un conjunto de
Borel de R, entonces la expresi´on pX P Aq, incluyendo el par´entesis, denota
el conjunto t ω P Ω : XpωqP A u,esdecir,

pX P Aq“t ω P Ω : XpωqP A u.

En palabras, la expresi´on pX P Aq denota aquel conjunto de elementos ω del
espacio muestral Ω tales que bajo la aplicaci´on de la funci´on X toman un
valor dentro del conjunto A. A este conjunto se le llama la imagen inversa
de A y se le denota tambi´en por X ´1 A, lo cual no debe confundirse con la
funci´on inversa de X, pues ´esta puede no existir. V´ease el Ejercicio 161, en
donde se pide demostrar algunas propiedades sencillas de la imagen inversa.

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