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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 103 — #109
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1.17 Continuidad de la probabilidad 103

Definici´on 1.14 Sea A 1 ,A 2 ,... una sucesi´on infinita de eventos.

8
ď
a) Si A 1 Ď A 2 Ď ¨¨¨ se define l´ım A n “ A n .
nÑ8
n“1
8
č
b) Si A 1 Ě A 2 Ě ¨¨¨ se define l´ım A n “ A n .
nÑ8
n“1

Hemos incluido, en la definici´on anterior, tambi´en el caso cuando la sucesi´on
de eventos es decreciente. En tal situaci´on, el l´ımite de la sucesi´on se define
como la intersecci´on de todos los eventos. Observe que la uni´on infinita en el
caso creciente no necesariamente es la totalidad del espacio muestral, pero
es un subconjunto de ´el. En el caso decreciente, la intersecci´on infinita no
necesariamente es el conjunto vac´ıo.

Por lo tanto, la proposici´on anterior establece que la probabilidad del l´ımite
de la sucesi´on coincide con el l´ımite de las probabilidades. Este intercam-
bio de l´ımite y probabilidad es la definici´on de continuidad, en este caso
para medidas de probabilidad. Este resultado puede extenderse al caso de
sucesiones mon´otonas decrecientes.

Proposici´on 1.11 Sea A 1 ,A 2 ,... una sucesi´on infinita decreciente de
eventos, es decir, A 1 Ě A 2 Ě ¨¨¨ Entonces

8
č
Pp A n q“ l´ım PpA n q.
nÑ8
n“1

Haremos uso de estos resultados en el siguiente cap´ıtulo.

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