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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 80 — #86
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80 3. Cadenas de Markov

ciones π πP junto con π j 1 tiene como ´unica soluci´on la distribu-
j
ci´on
j
1 p p , para j 0, 1, 2 ...
π j
Como consecuencia de la Proposici´on 3.18, se resuelve un problema dif´ıcil
de manera inmediata: los tiempos medios de recurrencia para cada uno de
los estados de esta cadena son
1 1
µ j j , para j 0, 1, 2 ...
π j 1 p p
En particular, µ 0 1 1 p .Esto confirma los c´alculos realizados antes
nf 00 n .
para µ 0 apartir de la f´ormula µ 0 n 1

3.14. Distribuciones l´ımite

Como hemos mencionado antes, toda matriz de probabilidades de transici´on
1
0
P determina una sucesi´on de distribuciones de probabilidad π , π ,... sobre
el espacio de estados, dada por
0
n
π n π n 1 P π P , n 1. (3.10)
Bajo ciertas condiciones tal sucesi´on es convergente a una distribuci´on de
probabilidad l´ımite π.Imaginemos por ahora que tal es elcaso y supongamos
entonces que
n
π l´ım π .
n
Examinaremos algunas propiedades de esta distribuci´on l´ımite. Tomando el
l´ımite cuando n en las dos igualdades de (3.10) se tiene que
π π P (3.11)
y π π 0 l´ım P n . (3.12)
n
Estas igualdades revelan varias cosas. Primero, la supuestadistribuci´on
l´ımite es una distribuci´on estacionaria, (3.11). Segundo, la distribuci´on l´ımite
no depende de la distribuci´on inicial, pues nuevamente la igualdad (3.11)
indica que π se determina a trav´es de la ecuaci´on (3.11). Tercero, la distribu-
ci´on l´ımite est´a dada por el l´ımite de las potencias de P,(3.12). Cuarto,a
partir de (3.12), el l´ımite de las potencias de P es una matriz con todos sus
renglones id´enticos, siendo este regl´on la distribuci´onl´ımite. Enestasecci´on
se establecen condiciones para obtener rigurosamente estosresultados.

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