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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 31 — #37
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3.2. Ejemplos 31

Probabilidades de transici´on en n pasos

La probabilidad P X n m j X m i corresponde a la probabilidad de
pasar del estado i al tiempo m,alestado j al tiempo m n.Dado que hemos
supuesto la condici´on de homogeneidad en el tiempo, esta probabilidad no

depende realmente de m,por lo tanto coincide con P X n j X 0 i ,y se
n
le denota por p ij n .A esta probabilidad tambi´en se le denota por p ,en
ij
donde el n´umero de pasos n se escribe entre par´entesis para distinguirlo de
alg´un posible exponente, y se le llama probabilidad de transici´on en n pasos.
Usaremos ambas notaciones a conveniencia. Haciendo variar i y j se obtiene
la matriz de probabilidades de transici´on en n pasos que denotaremos por
P n o P n :
p 00 n p 01 n
P n p 10 n p 11 n .
. . . . . .

Cuando el n´umero de pasos n es uno, simplemente se omite su escritura en
estas probabilidades de transici´on, a menos que se quiera hacer ´enfasis en
ello. Adem´as, cuando n 0es natural definir p ij 0 como la funci´on delta
de Kronecker:
0si i j,
p ij 0 δ ij
1si i j.
Es decir, despu´es de realizar cero pasos la cadena no puede estar en otro
lugar mas que en su estado de partida. Para algunas pocas cadenas de Mar-
kov encontraremos f´ormulas compactas para las probabilidades de transici´on
p ij n .Estas probabilidades en generalno son f´aciles de encontrar.

3.2. Ejemplos

Estudiaremos a continuaci´on algunos ejemplos particulares de cadenas de
Markov. Retomaremos m´as adelante varios de estos ejemplos para ilustrar
otros conceptos y resultados generales de la teor´ıa, de modoque nos referire-
mos a estos ejemplos por los nombres que indicaremos y, a menosque se diga
lo contrario, usaremos la misma notaci´on e hip´otesis que aqu´ı se presentan.

Cadena de dos estados
Considere una cadena de Markov con espacio de estados 0, 1 ,y con matriz
ydiagrama de transici´on como aparece en la Figura 3.2, en donde 0 a 1,

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