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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 26 — #32
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26 2. Caminatas aleatorias

16. Probabilidad de ruina del segundo jugador.Si el juego se considera
desde el punto de vista del jugador B,entonces se trata de la misma
caminata aleatoria s´olo que ahora el capital inicial es N k yla pro-
babilidad de ganar en cada apuesta es q.Substituya estos par´ametros
en la soluci´on (2.14) y compruebe que la probabilidad de ruina del ju-
gador B,denotada por v N k ,es la que aparece abajo. Verifique adem´as
que u k v N k 1, es decir, la probabilidad de que eventualmente el
juego termine con la ruina de alguno de los jugadores es uno.

k N si q 1 2,

v N k q p k 1
si q 1 2.
q p N 1

17. Siguiendo la notaci´on usada para encontrar el n´umero esperado de
apuestas antes de la ruina en el problema del jugador, demuestre la
siguiente igualdad v´alida para k 1, 2,... ,N 1.

m k 1 pm k 1 qm k 1 .

18. Considere el problema de la ruina del jugador permitiendoahoraque
existan empates en cada una de las apuestas. Las probabilidades de
ganar, perder o empatar para el jugador A son p, q y r,respectiva-
mente, con p q r 1. Demuestre que la probabilidad de ruina para
el jugador A sigue siendo la misma expresi´on (2.14). Es decir, la posi-
bilidad de empate en cada apuesta extiende posiblemente la duraci´on
del juego pero no modifica las probabilidades de ruina.

19. Demuestre que la duraci´on promedio del juego en el problema de la
2
ruina del jugador es siempre menor o igual a N 2 ,es decir,para
2
cada k 1,... ,N,se cumple que m k N 2 ,tanto en elcaso
sim´etrico como en el no sim´etrico.

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