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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 25 — #31
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2.3. Ejercicios 25

e) De manera an´aloga obtenga f 10 1,q p.
f) Analice los casos p q y p q por separado para encontrar que
f 00 2q y f 00 2p,respectivamente. Concluya que

f 00 2m´ın p, q 1 p q .

El problema de la ruina del jugador

14. Ecuaci´on en diferencias. Siguiendo la notaci´on usada en el proble-
ma de la ruina del jugador, demuestre la validez de la ecuaci´on en
diferencias que aparece abajo, para k 1, 2,... ,N 1.

u k pu k 1 qu k 1 .

15. Para resolver el problema del jugador se requiere resolver la ecuaci´on
pu k 1 qu k 1 .Resuelva nuevamente esta ecuaci´on
en diferencias u k
siguiendo los siguientes pasos sugeridos en [16]:
k
a) Proponga la soluci´on u k am ,con a y m constantes distintas
de cero, y que encontraremos a continuaci´on.
b) Substituya la soluci´on propuesta en la ecuaci´on en diferencias y
encuentre la ecuaci´on cuadr´atica pm 2 m q 0. Esta ecuaci´on
se conoce como la ecuaci´on caracter´ıstica de la ecuaci´on en dife-
rencias.

c) Suponiendo el caso p q,esta ecuaci´on cuadr´atica tiene dos
q p.Dada la linealidad de la
soluciones distintas: m 1 1y m 2
ecuaci´on en diferencias, la soluci´on general puede escribirse como
k
u k a 1 m k 1 a 2 m k 2 a 1 a 2 q p .
0para encontrar
d) Use las condiciones de frontera u 0 1y u N
los valores de las constantes a 1 y a 2 ,y obtener nuevamente la
soluci´on (2.14).

e) Cuando p q la ecuaci´on caracter´ıstica tiene una ´unica ra´ız:
m 1 1. Como segundo valor para m se propone k veces el valor
de la primera soluci´on, es decir, m 2 k.Proceda como en el
inciso anterior para encontrar (2.14) en este caso.

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