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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 23 — #29
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2.3. Ejercicios 23

5. Para una caminata aleatoria simple X n : n 0 sobre Z demuestre
que
P X n 1 x pP X n x 1 qP X n x 1 .

6. Una part´ıcula realiza una caminata aleatoria sim´etricasobre Z em-
pezando en cero. Encuentre la probabilidad de que la part´ıcula se
encuentre nuevamente en el origen en el sexto paso.

7. Una part´ıcula realiza una caminata aleatoria sim´etricasobre Z em-
pezando en cero. ¿Cu´al es la probabilidad de que la part´ıcula regrese
al estado cero por primera vez en el sexto paso?

8. Demuestre que la funci´on generadora de momentos de la variable X n
de la caminata aleatoria simple sobre Z es

M t E e tX n pe t qe t n .

Apartir de esta expresi´on encuentre nuevamente la esperanza y va-
rianza de X n .

9. Demuestre nuevamente la identidad (2.1) analizando ahorala varia-
ble L n ,es decir,demuestre primero las igualdades que aparecen aba-
jo. Concluya que L n tiene distribuci´on binomial n, q .A partir de
aqu´ı obtenga (2.1).

n
1 1
L n n X n 1 ξ i .
2 2
i 1
10. Demuestre que la probabilidad (2.1) es una funci´on sim´etrica de x si,
ys´olo si, la caminata es sim´etrica. La simetr´ıa de la probabilidad se
expresa de la forma siguiente

P X n x X 0 0 P X n x X 0 0 .

11. Primera visita a un estado dado. Considere una caminata aleatoria
simple sobre Z que empieza en cero y tal que la probabilidad de pasar
al estado de la derecha es p yla probabilidad de pasar al estado de
la izquierda es q 1 p.Sea τ n el primer momento en el que la

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