Page 30 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 22 — #28
✐ ✐

22 2. Caminatas aleatorias

Substituyendo en (2.17) y simplificando, despu´es de algunosc´alculos se llega
alarespuesta enunciada. !

La forma en la que m k cambia al
m k
variar el par´ametro k se muestra
en la Figura 2.7 cuando N 50. 625
p 0.5
La duraci´on m´axima promedio del
juego se obtiene cuando el juego es
justo, p 1 2, y ambos jugadores
tienen el mismo capital inicial, es p 0.1 p 0.9
decir, k N 2. Esto arroja un k
10 20 30 40 50
promedio m´aximo de N 2 N
N 2 N 2 2 apuestas antes del Figura 2.7
fin del juego. En el caso ilustrado,
la duraci´on m´axima promedio del
juego es de 50 2 2 625 apuestas.
Notas y referencias.Eltema de caminatas aleatorias puede ser encon-
trado en la mayor´ıa de los textos sobre procesos estoc´asticos, ya sea de
una manera expl´ıcita o como un ejemplo importante de cadena de Markov.
En particular el libro de Jones y Smith [15], y el de Basu [1] contienen un
cap´ıtulo completo sobre el tema. En el texto de Lawler [22] puede encon-
trarse una exposici´on a nivel elemental sobre las caminatasaleatorias y la
ecuaci´on del calor, entre otros temas. Como lectura m´as avanzada v´ease el
texto de Resnick [27] y el de Spitzer [32].

2.3. Ejercicios

Caminatas aleatorias

4. Propiedad de Markov. Demuestre que una caminata aleatoria simple
X n : n 0 sobre Z cumple la propiedad de Markov, es decir, de-
muestre que para cualquier valor natural de n ypara cualesquiera
enteros x 0 ,x 1 ,... ,x n 1 ,la probabilidad

P X n 1 x n 1 X 0 x 0 ,... ,X n x n

coincide con P X n 1 x n 1 X n x n .

✐ ✐

✐ ✐