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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 282 — #288
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282 9. C´ alculo estoc´ astico

Se puede demostrar que esta integral puede ser calculada mediante el siguien-
2
te l´ımite en el espacio L P ,aunquetambi´en severifica la convergencia en
probabilidad:
t n 1
l´ım , (9.7)
f B s dB s f B t k B t k 1 B t k
0 n
k 0
en donde 0 t 0 t 1 ... t n t es una partici´on de 0,t ,y nuevamente
el l´ımite debe entenderse en el sentido de que la distancia m´axima entre dos
puntos sucesivos de la partici´on tiende a cero.

Con esto concluimos la serie de ideas generales con las cualespuede cons-
truirse la integral de Itˆo. Las demostraciones de algunos detalles t´ecnicos
que hemos simplemente mencionado se pueden encontrar en [33]. El esquema
simplificado del procedimiento seguido para definir la integral estoc´astica se
ilustra la Figura 9.3.

Definici´on
2
H 0

Aproximaci´on
H 2

Localizaci´on
L 2 loc L P
2
Figura 9.3

Ejemplo 9.2 Con la ayuda de la identidad (9.7) calcularemos la integral
estoc´astica
t
B s dB s . (9.8)
0
Sea 0 t 0 t 1 t n t una partici´on uniforme de 0,t ,es decir
t i 1 t i 1 n.Usando la identidad
1 1
a b a b 2 a 2 a b 2
2 2

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