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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 237 — #243
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7.12. Ejercicios 237

Teorema de paro opcional

ξ n una caminata aleatoria simple sobre Z yque
207. Sea X n ξ 1
inicia en el origen. Suponga P ξ 1 p y P ξ 1 q 1 p.
Sean a y b dos enteros positivos fijos. Defina el tiempo de paro τ
m´ın n 1: X n a ´o X n b .
a) Use el teorema de paro opcional y el hecho de que q p X n : n
1 es una martingala para demostrar que

1 q p a
P X τ b ,
1 q p a b
1 p q b
y P X τ a ,
1 p q a b

b) Demuestre que

ab si p q,
E τ b a b 1 p q b
si p q.
p q p q 1 p q a b

Integrabilidad uniforme

208. Demuestre que una variable aleatoria X es integrable si, y s´olo si, para
cada ϵ 0existe M 0tal que

X dP ϵ.
X M

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