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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 234 — #240
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234 7. Martingalas

b) Si X n : n 0 es una supermartingala, entonces X n M : n
0 es una supermartingala.

186. Sean X t : t 0 and Y t : t 0 dos martingalas, submartingalas
osupermartingalas respecto de lamismafiltraci´on. Demuestre que

el proceso aX t bY t c : t 0 es tambi´en una martingala, sub-
martingala o supermartingala, respectivamente, en donde a, b y c son
constantes. Para el caso de submartingala y supermartingalase nece-
sita suponer adem´as que a y b son no negativos. En particular esto
demuestra que la suma de dos martingalas es una martingala, y que
el conjunto de martingalas respecto de la misma filtraci´on y definidas
en un mismo espacio de probabilidad es un espacio vectorial.

187. Sea X n : n 1 un proceso integrable. Demuestre que el proceso
dado por X n m´ax X 1 ,... ,X n es una submartingala.
188. Sean X t : t 0 y Y t : t 0 dos martingalas o submartingalas

respecto de la misma filtraci´on. Demuestre que el proceso X t Y t :
t 0 es una submartingala.
189. Sean X t : t 0 y Y t : t 0 dos martingalas o supermartingalas
Y t :
respecto de la misma filtraci´on. Demuestre que el proceso X t
t 0 es una supermartingala.

190. Martingala de de Moivre. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de variables aleato-
rias independientes cada una de ellas con la misma distribuci´on dada
por P ξ 1 p y P ξ 1 q 1 p.Sea X n ξ 1 ξ n .
Demuestre que Y n q p X n es una martingala respecto de la fil-
traci´on generada por el proceso X n : n 1 .

191. Sea X t : t 0 una martingala respecto de una filtraci´on F t t 0 .
Demuestre que el proceso tambi´en es una martingala respectode su
filtraci´on natural. En general el rec´ıproco es falso.
192. Martingala producto. Sean ξ 1 , ξ 2 ,... variables aleatorias independien-
tes con esperanza unitaria. Demuestre que el proceso X n ξ 1 ξ n
es una martingala respecto de su filtraci´on natural.
193. Sea X n : n 0 una submartingala. Demuestre que los siguientes
procesos tambi´en son submartingalas.

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