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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 236 — #242
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236 7. Martingalas

199. Sea ξ n : n 0 un proceso integrable y adaptado a la filtraci´on
F n n 0 .Demuestre que elsiguiente proceso es una martingala.

n
X n ξ k E ξ k F k 1 .
k 1

200. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ 0. Demuestre
que los siguientes procesos son martingalas.

a) Y t X t λt 2 λt.
b) Y t exp θX t λt 1 e θ ,en donde θ R.
201. Sea X t : t 0 un proceso integrable con incrementos independien-

tes. Demuestre que el proceso centrado X t E X t : t 0 es una
martingala.

202. Considere la martingala de la urna de Polya con una configuraci´on
inicial de una bola blanca y una negra. Suponga ahora que cuando
se extrae una bola de un color se regresa a la urna junto con k bolas
del mismo color. Defina M n X n 2 nk .¿Es M n : n 0 una
martingala?

203. Demuestre que el proceso X n : n 1 de la estrategia de juego
llamada martingala, cuando las apuestas son justas, es una martingala.

204. Sea X n : n 0 una martingala. Demuestre que para 0 n 1 n 2
n 3 ,
0.
E X n 3 X n 2 X n 1
205. Sea ξ 1 , ξ 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias tal que el proceso

X n ξ 1 ξ n es una martingala. Demuestre que E ξ i ξ j 0para
i j.

206. Sea X n : n 0 una cadena de Markov con espacio de estados
0, 1,... .Suponga que las probabilidades de transici´on son p 00 1y
i j!en los otros casos. Demuestre que X n : n
p ij e i j 0 es una
martingala.

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