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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 240 — #246
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240 8. Movimiento Browniano

reimpresi´on de los primeros trabajos de Einstein sobre el movimiento Brow-
niano. En este cap´ıtulo se presenta una introducci´on al modelo matem´atico
para el movimiento Browniano. Se trata del ejemplo m´as importante de un
proceso de Markov a tiempo continuo y con espacio de estados continuo.

8.1. Definici´on

Las observaciones reales del movimiento
de granos de polen a trav´es del microsco-
pio sugieren que las trayectorias son con-
tinuas y que los desplazamientos son inde-
pendientes en intervalos de tiempo disjun-
tos. Adem´as, debido al gran n´umero de co-
lisiones del grano de polen con las mol´ecu-
las circundantes en longitudes de tiempo
no peque˜nos, y teniendo en cuenta el teo- Figura 8.1:
rema central del l´ımite, los incrementos Movimiento Browniano
pueden modelarse como variables aleato-
rias Gausianas. La estructura matem´atica
de un proceso estoc´astico a tiempo continuo, denotado en este caso por
B t : t 0 ,ha resultado adecuada para modelar este tipo de fen´omenos.
En tal modelo, la variable B t puede representar la posici´on de la part´ıcu-
la al tiempo t.La definici´on matem´atica, en elcaso unidimensional,es la
siguiente.

Definici´on 8.1 (Primera definici´on) Un movimiento Browniano uni-
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dimensional de par´ametro σ es un proceso estoc´astico B t : t 0 con
valores en R que cumple las siguientes propiedades.

1. B 0 0 c.s.

2. Las trayectorias son continuas.

3. El proceso tiene incrementos independientes.

4. Para cualesquiera tiempos 0 s t,la variable incremento B t B s
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tiene distribuci´on N 0, σ t s ,

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