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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 242 — #248
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242 8. Movimiento Browniano

2
En particular, la variable B t tiene distribuci´on N 0, σ t .Demostraremos a
continuaci´on que las dos definiciones anteriores son equivalentes.

Proposici´on 8.1 Las Definiciones 8.1 y 8.2 del movimiento Browniano
son equivalentes.
Demostraci´on.
I II .Se hace uso de la independencia de los incrementos y de la
hip´otesis de que ´estos tienen distribuci´on normal.

x 1 ,x 2 ,... ,x n
f B t 1
,B t 2 ,...,B t n
x 1 ,x 2 x 1 ,... ,x n x n 1
f B t 1 ,B t 2 B t 1 ,...,B t n B t n 1
x 2 x 1 x n x n 1
x 1 f B t 2
B t 1 f B t n B t n 1
f B t 1
p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 , 0,x 2 x 1 p t n t n 1 , 0,x n x n 1
p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 ,x 1 ,x 2 p t n t n 1 ,x n 1 ,x n .
II I .De acuerdo al tercer postulado, para 0 s t,la funci´on
x, y p s, 0,x p t s, x, y .
de densidad del vector B s ,B t es f B s,B t
Aplicando la f´ormula general para la funci´on de densidad dela diferencia
X u f X,Y x, u x dx,se obtiene
de dos variables aleatorias, f Y

u p s, 0,x p t s, x, u x dx
f B t B s
1 x 2s 1 u 2σ t s
2
2
2
e e dx
2
2
2πσ s 2πσ t s
1 u 2σ t s
2
2
e
2
2πσ t s
p t s, 0,u ,
2
es decir, B t B s tiene distribuci´on N 0, σ t s .Entonces
x 1 ,x 2 ,... ,x n
,B t 2 B t 1 ,...,B t n B t n 1
f B t 1
x 1 ,x 2 x 1 ,... ,x n x n 1 x 1
f B t 1
,B t 2 ,...,B t n
p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 ,x 1 ,x 2 x 1
... p t n t n 1 ,x 1 x n 1 ,x 1 x n
p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 , 0,x 2 p t n t n 1 , 0,x n
x 2 x n .
f B t 1 x 1 f B t 2 f B t n B t n 1
B t 1

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