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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 232 — #238
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232 7. Martingalas

174. Sean τ 1 y τ 2 dos tiempos de paro respecto de la misma filtraci´on.
Demuestre que las siguientes variables aleatorias tambi´enson tiempos
de paro.

a) τ 1 τ 2 .
b) τ 1 τ 2 .

c) τ 1 τ 2 .
175. Sea X n : n 1 un proceso a tiempo discreto, y sea x un n´umero
real cualquiera dentro del espacio de estados del proceso. Defina las
variables aleatorias: τ 1 como el primer momento en el que el proceso
toma el valor x, τ 2 como el segundo momento en el que el proceso
toma el valor x,etc.Demuestre que τ 1 τ 2 son tiempos de
paro.
176. Sea τ un tiempo de paro con valores en 0, ysea c 1una cons-
tante. Demuestre que c τ es tiempo de paro.

177. Sea τ 1 , τ 2 ,... una sucesi´on infinita de tiempos de paro respecto de la
misma filtraci´on. Demuestre que las siguientes funciones tambi´en son
tiempos de paro.

a) τ sup τ 1 , τ 2 ,... .

b) τ ´ınf τ 1 , τ 2 ,... .
c) τ τ k ,es decir, τ es la k-´esima estad´ıstica de orden.

178. Sea X n : n 0 un proceso adaptado a la filtraci´on F n n 0 ,y sea
τ un tiempo de paro discreto con valores en 0, 1,... yque adem´as
es finito, es decir, P τ 1. Demuestre que X τ es una variable
aleatoria.

Martingalas

179. Definiciones equivalentes. Sea X n : n 0 una martingala a tiempo
discreto. Demuestre que la propiedad de martingala

a) E X m F n X n , para cualquier m n

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