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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 233 — #239
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7.12. Ejercicios 233

es equivalente a la condici´on

b) E X n 1 F n X n , para cada n 1.
Enuncie y demuestre la equivalencia an´aloga al caso submartingala
ysupermartingala. Sugerencia: E E X F G E X G cuando
G F.

180. Demuestre que

a) Toda martingala es una submartingala y una supermartingala.
b) Todo proceso que es al mismo tiempo una submartingala y una
supermartingala es una martingala.

181. Demuestre que para cualquier t s 0,

a) E X t E X s cuando X t : t 0 es una martingala.
b) E X t E X s cuando X t : t 0 es una submartingala.

c) E X t E X s cuando X t : t 0 es una supermartingala.
182. Martingala de la esperanza condicional. Sea X una variable aleatoria
integrable, y sea F t t 0 una filtraci´on a tiempo continuo. Demuestre
que el proceso X t : t 0 definido a continuaci´on es una martingala.

X t E X F t .

183. Para la martingala del juego de apuestas justas X n ξ 1 ξ n ,
demuestre que el proceso X n 2 n : n 0 es una martingala si, y s´olo
si, Var ξ 1.

184. Sea X n : n 1 un proceso adaptado a la filtraci´on F n n 1 .
Demuestre que si A es un evento F 1 -medible, entonces el proceso
X n 1 A : n 1 es una martingala, submartingala o supermartingala
cuando X n : n 1 lo es.
185. Sea M una constante. Demuestre que:

a) Si X n : n 0 es una submartingala, entonces X n M : n 0
es una submartingala.

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