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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 228 — #234
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228 7. Martingalas

en donde M 0es laconstante de laestimaci´on anterior. Entonces

E X n X X n X dP
X n X M
X n X dP
ϵ 3 X n X M

X n X dP
X n X ϵ 3
ϵ ϵ
MP X n X ϵ 3 P X n X ϵ 3
3 3
ϵ.

!

Finalmente se presenta el resultado que establece que toda martingala uni-
formemente integrable se puede escribir como una esperanza condicional.

Teorema 7.3 (Teorema de representaci´on de martingalas)
Sea X n : n 0 una martingala uniformemente integrable, con filtraci´on
natural F n n 0 ,y teniendo a la variable X como su l´ımite en media. En-
tonces,

X n E X F n c.s.

Demostraci´on. Para cualquier m n, E X m F n X n .Esto quiere
decir que para cualquier evento A en F n ,

X m dP X n dP.
A A
Entonces,

X n X dP X m X dP
A A
X m X dP
A

X m X dP.
Ω

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