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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 162 — #168
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162 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

que

G t, u p t u n
n
n 0
λp n 1 t λp n t u n
n 0
λuG t, u λG t, u

u 1 λG t, u ,
de donde se obtiene la ecuaci´on diferencial G G u 1 λ. Integrando de
0 a t yusando la condici´on G 0,u 1 se llega a

λt n
n
e
G t, u G 0,u e u 1 λt e λt λtu e λt u .
n!
n 0
Esta es la funci´on generadora de probabilidad de la distribuci´on Poisson λt .
Por la propiedad de unicidad se obtiene que la variable X t tiene distribuci´on
Poisson λt .

Derivaci´on intuitiva de los sistemas de ecuaciones diferenciales
prospectivo y retrospectivo de Kolmogorov
Explicaremos a continuaci´on los t´erminos prospectivo y retrospectivo de los
sistemas de ecuaciones diferenciales de Kolmogorov para lasprobabilida-
des de transici´on p ij t en el caso particular de un proceso de nacimiento
ymuerte. Veamos primero el caso restrospectivo. Para cualquier t 0y
h 0peque˜noconsideremos el intervalo 0,t h visto como la siguiente
descomposici´on:
0,t h 0,h h, t h .
Supongamos que queremos calcular la probabilidad p ij t h .El sistema
de ecuaciones que obtendremos se llama retrospectivo porqueanaliza lo que
ocurre en el intervalo inicial 0,h de longitud muy peque˜na h.En este
intervalo, a partir del estado i,´unicamente pueden ocurrir tres cosas: que
haya un nacimiento, que haya una muerte o que no nazca ni muera nadie. Por
lo tanto, por la propiedad de incrementos independientes y estacionarios,
cuando h 0,
p ij t h λ i hp i 1,j t µ i hp i 1,j t 1 λ i h µ i h p ij t o h .

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