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1.2 Descripciones num´ ericas 55

Es claro que en t´erminos de los momentos centrales, la curtosis puede escri-
2
birse de la siguiente manera k “ m {m .
4
2
El siguiente resultado muestra que la curtosis es invariante bajo transfor-
maciones lineales. Su demostraci´on se deja como ejercicio.

Proposici´on 1.10 Sea kpxq la curtosis del conjunto de datos num´eri-
cos x ,...,x .Sean a ‰ 0y c dos constantes, y considere los datos
n
1
transformados ax ` c, . . . , ax ` c.Entonces
n
1
kpax ` cq“ kpxq.

Se debe advertir que tambi´en se denomina con el nombre de curtosis (o
excess kurtosis)a la cantidad que aparece a continuaci´on. Debido a que
la curtosis de la distribuci´on normal est´andar es igual a 3, con esta nueva
definici´on, la curtosis de la distribuci´on normal es ahora cero.

˜ ¸
n
1 1 ÿ
k “ px ´ ¯xq 4 ´ 3.
3
i
s 4 n
i“1
De esta manera, se toma el tipo de cola de la distribuci´on normal como
punto de referencia y se adoptan los siguientes t´erminos:

‚ Leptoc´urtica (k ą 0): Decaimiento r´apido, colas ligeras. Este com-
3
portamiento se muestra en la Figura 1.12 (a).

‚ Mesoc´urtica (k “ 0): Curva normal. Este comportamiento se mues-
3
tra en la Figura 1.12 (b).

‚ Platic´urtica (k ă 0): Decaimiento lento, colas amplias. Este com-
3
portamiento se muestra en la Figura 1.12 (c).