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Sugerencias a los ejercicios 337

d)La desigualdad de Jensen establece que si X es una v.a. con esperanza
finita y ϕ es una funci´on c´oncava, entonces ϕpEpXqq ě EpϕpXqq.To-
maremos X con distribuci´on uniforme sobre los valores x 1 ,...,x n yla
funci´on c´oncava ln x.Tenemos que

ˆ ˙ n
x 1 `¨ ¨ ¨ ` x n 1 ÿ
ln ě ln x i
n n
i“1
n
ÿ 1{n
“ ln x i
i“1
“ ln px 1{n ¨¨¨ x 1{n q.
1 n

25. a)Evidente.
b)Simplemente multiplique y divida mapxq por px 1 ¨¨¨ x n q.

c)Se usa nuevamente la desigualdad de Jensen como en el ´ultimo inciso del
ejercicio anterior. Tomaremos X nuevamente con distribuci´on uniforme
pero esta vez sobre los valores 1{x 1 ,..., 1{x n yla funci´on c´oncava ln x.
Tenemos que

ˆ ˙ n
1{x 1 `¨ ¨ ¨ ` 1{x n 1 ÿ
ln ě ln 1{x i
n n
i“1
n
ÿ
1{n
“ ln p1{x i q
i“1
1{n 1{n
“ ln pp1{x 1 q ¨¨¨p1{x n q q.
Omitiendo el logaritmo y tomando el rec´ıproco se obtiene el resultado.

26. a)Verdadero.

b)Verdadero.
c)Verdadero.
d)Falso, puede cambiar.

27. Si a “ 0entonces la colecci´on de datos transformados consta del valor c
repetidas veces. Este valor c es la moda y la f´ormula se cumple. Si a ‰ 0
entonces la transformaci´on x i ÞÑ ax i ` c establece una relaci´on biun´ıvoca
entre los datos observados y los datos transformados. En consecuencia, la
frecuencia de cada dato observado es la misma frecuencia que la del dato
transformado. Por lo tanto, si x es el dato original con mayor frecuencia,
˚
entonces ax `c es el dato transformado que tiene mayor frecuencia, es decir,
˚
es la moda de los datos transformados.