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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 75 — #81
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3.13. Distribuciones estacionarias 75

En particular, si π j 0, entonces j es un estado recurrente positivo. Es-
to es una consecuencia inmediata del resultado anterior y para ello puede
usarse un argumento por contradicci´on. Por otro lado, la proposici´on reci´en
demostrada tambi´en nos ayuda a corroborar nuevamente, por ejemplo, que
una caminata aleatoria sim´etrica simple no tiene distribuci´on estacionaria,
pues se trata de una cadena cuyos estados son todos recurrentes nulos y por
lo tanto π j 0paracualquier valor entero de j.Se presenta a continuaci´on
una soluci´on al problema de encontrar condiciones suficientes que garanticen
la existencia y unicidad de la distribuci´on estacionaria.

Proposici´on 3.18 (Existencia y unicidad de la distribuci´on esta-
cionaria) Toda cadena de Markov que es irreducible y recurrente positiva
tiene una ´unica distribuci´on estacionaria dada por

1
π j 0,
µ j
en donde µ j es el tiempo medio de recurrencia del estado j.En particular,
toda cadena finita e irreducible tiene una ´unica distribuci´on estacionaria.

Demostraci´on. Sea π j 1 µ j .Demostraremos que

(1) π j π i p ij .
i

(2) π j 1.
j

(3) π j es ´unica.

Como la cadena es irreducible y recurrente positiva, se tieneque µ j ,
para cualquier estado j.Por lo tanto el cociente 1 µ j es estrictamente posi-
tivo. Por el teorema erg´odico para cadenas de Markov,

n
1 1
l´ım p ij m .
n n µ j
m 1

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