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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 76 — #82
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76 3. Cadenas de Markov

(1) Estacionariedad. Para cualquier natural N,

N N 1 n
π i p ij l´ım p ki m p ij
n n
i 0 i 0 m 1
1 n N
l´ım p ki m p ij
n n
m 1 i 0
1 n
l´ım p kj m 1
n n
m 1
π j .

Haciendo N ,
π i p ij π j . (3.6)
i
Suponga que para alg´un valor de j la desigualdad anterior es estricta.
Sumando sobre todos los valores j,por elteorema de Fubini,

π j π i p ij π i p ij π i .
j j i i j i
Lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto (3.6) es una igualdad. Esto
demuestra que π es estacionaria.
(2) Distribuci´on de probabilidad. Para cualquier n´umero natural N,

N N 1 n
π j l´ım p ij k
n n
j 0 j 0 k 1
n N
1
l´ım p ij k
n n
k 1 j 0
1 n
l´ım 1
n n
k 1
1.
Por otra parte, recordemos que si π es estacionaria para P,entonces
tambi´en lo es para P m para cualquier m natural, es decir,

π j π i p ij m , (3.7)
i

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