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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 77 — #83
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3.13. Distribuciones estacionarias 77

de modo que para cualquier n natural,

n
1
π j π i p ij m .
n
i m 1
Haciendo n ,por elteorema de convergencia dominada de Lebesgue,
yusando el hecho de que j π j 1,

1 n
π j π i l´ım p ij m π i π j .
n n
i 0 m 1 i 0
Dado que π j es estrictamente positivo, se obtiene que π i 1.
i
(3) Unicidad. Sean π y π dos distribuciones estacionarias para la matriz
P.Entonces para cualquier valor natural de n,

n N n
1 1
π j π i p ij m π i p ij m .
i n m 1 i 0 n m 1
Haciendo n ,
N
π π π j .
j i
i 0
Ahora hacemos N para obtener

π j π j . (3.8)
Si esta desigualdad fuera estricta para alg´un valor de j,entonces
sumando sobre todos los valores de j se obtiene 1 j π j j π j
1, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto (3.8) es una igualdad para
cada valor de j,y ello demuestra la unicidad.

!

Ejemplo 3.21 La cadena de Markov de dos estados es finita e irreducible
cuando a b 0,y por lo tanto es recurrente positiva. Por la Proposi-
ci´on 3.18 existe una ´unica distribuci´on estacionaria para esta cadena. Re-
solviendo el sistema de ecuaciones π πP para π π 0 , π 1 ,con π 0 π 1
1,se encuentra que
b a
π 0 , π 1 , .
a b a b

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