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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 71 — #77
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3.13. Distribuciones estacionarias 71

con distribuci´on inicial cualquier vector de probabilidad π 0 α, 1 α ,con
0 α 1.No es dif´ıcil darse cuenta que la multiplicaci´on deun vector
rengl´on por la matriz P tiene el efecto de intercambiar las entradas del
vector. Por lo tanto la sucesi´on de vectores de probabilidades

π 0 α, 1 α
π 1 1 α, α
π 2 α, 1 α
π 3 1 α, α
. . .

que claramente no es convergente, pues tiene un comportamiento oscilatorio,
amenos que α 1 2.

Antes de encontrar condiciones bajo las cuales la sucesi´on de distribuciones
de probabilidad definidas por (3.5) es convergente, estudiaremos a conti-
nuaci´on el caso particular cuando la distribuci´on inicialno cambia al ser
multiplicada por la derecha por P.Atales distribuciones se les llama esta-
cionarias o invariantes en el tiempo.

3.13. Distribuciones estacionarias

Definici´on 3.13 Una distribuci´on de probabilidad π π 0 , π 1 ,... es esta-
cionaria o invariante para una cadena de Markov con matriz de probabili-
dades de transici´on P p ij si

π j π i p ij .
i

En t´erminos matriciales, la distribuci´on de probabilidad π es estacionaria
si π πP.Esta identidad tiene como consecuencia el hecho de que para
n
cualquier n´umero natural n se cumpla que π π P ,es decir, π es tambi´en
n
una distribuci´on estacionaria para la matriz P .Esto significa que si la
variable aleatoria inicial X 0 tiene esa distribuci´on π,entonces la distribuci´on
de X n tambi´en es π pues P X n j π i p ij n π j ,es decir,esta
i
distribuci´on no cambia con el paso del tiempo y por ello es quesele llama

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