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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 73 — #79
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3.13. Distribuciones estacionarias 73

El lado izquierdo es acotado pues es la diferencia de dos probabilidades
mientras el lado derecho crece sin l´ımite cuando n es grande, a menos que
π 1 π 0 0.Esto demuestra que todas las diferencias π j π j 1 con j Z
son cero, y por lo tanto π j es constante para cualquier valor de j.Es decir,
el vector constante es la soluci´on al sistema de ecuaciones en diferencias
planteado, pero ello es incompatible con la condici´on π j 1.Por lo tan-
j
to no existe ninguna distribuci´on de probabilidad π que cumpla la igualdad
π πP para esta cadena.

Ejemplo 3.20 (Existencia ´unica) La cadena de Markov de dos estados
dada por la matriz
1 a a
P
b 1 b
tiene una ´unica distribuci´on estacionaria dada por
b a
π π 0 , π 1 , ,
a b a b

cuando a b 0.En cambio,cuando a b 0,la matriz resultante es
la matriz identidad que acepta como distribuci´on estacionaria a cualquier
distribuci´on de probabilidad sobre 0, 1 ,es decir, en este caso existe una
infinidad de distribuciones estacionarias para esta cadena.

Con base en los ejemplos anteriores haremos algunas observaciones sobre las
distribuciones estacionarias. Primeramente observe que para encontrar una
posible distribuci´on estacionaria de una cadena con matriz P,un primer
m´etodo consiste en resolver el sistema de ecuaciones π πP,sujeto a la
condici´on π j 1. M´as adelante expondremos una forma alternativa de
j
buscar distribuciones estacionarias para cadenas reversibles. Por otro lado,
suponga que π y π son dos distribuciones estacionarias distintas para una
matriz P.Entonces la combinaci´on lineal convexa απ 1 α π ,para
α 0, 1 ,tambi´en es una distribuci´on estacionaria pues

απ 1 α π P απP 1 α π P απ 1 α π .

Por lo tanto, si existen dos distribuciones estacionarias distintas para una ca-
dena, entonces existe una infinidad de ellas. Esto demuestra que el conjunto
de distribuciones estacionarias es un conjunto convexo. Tomando en cuenta

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