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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 74 — #80
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74 3. Cadenas de Markov

las observaciones anteriores y de acuerdo a los ejemplos mostrados, s´olo hay
tres situaciones sobre la existencia de distribuciones estacionarias para una
cadena de Markov cualquiera: no existe ninguna distribuci´on estacionaria,
existe una distribuci´on estacionaria y es ´unica, o existe una infinidad de dis-
tribuciones estacionarias. Dadas estas consideraciones, es natural plantearse
el problema de encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una
cadena tenga alguna distribuci´on estacionaria. Primeramente demostrare-
mos que cuando existe una distribuci´on estacionaria, ´estatiene como soporte
el conjunto de estados recurrentes positivos.

Proposici´on 3.17 (Soporte de una distribuci´on estacionaria) Sea π
una distribuci´on estacionaria para una cadena de Markov. Si j es un estado
transitorio o recurrente nulo, entonces π j 0.

Demostraci´on. Usaremos el hecho de que si j es un estado transitorio o
recurrente nulo, entonces para cualquier estado i,

n
1
l´ım p ij k 0.
n n
k 1
Como π es una distribuci´on estacionaria,

π j π i p ij
i
π i p ij k
i
n
1
π i p ij k
n
k 1 i
1 n
π i p ij k
n
i k 1
Tomando el l´ımite cuando n ,por el teorema de convergencia dominada,
se obtiene
1 n
π j π i l´ım p ij k 0.
n n
i k 1
!

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