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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 69 — #75
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3.12. Evoluci´ on de distribuciones 69

Para que esta suma sea uno debe existir por lo menos un valor de j en C

tal que µ j ,pues de lo contrario cada sumando ser´ıa cero y la suma
total no podr´ıa ser uno. Por lo tanto existe un estado j que es recurrente
positivo. Dado que la recurrencia positiva es una propiedad de clase, todos
los elementos de C son recurrentes positivos. !

Observe que en particular, todos los estados de una cadena finita e irredu-
cible son recurrentes positivos.

3.12. Evoluci´on de distribuciones

Una matriz estoc´astica establece una din´amica en el conjunto de las dis-
tribuciones de probabilidad definidas sobre el espacio de estados de la corres-
pondiente cadena de Markov. Para explicar la situaci´on de manera simple
consideraremos un espacio de estados finito 0, 1,... ,n ,y una distribu-
0
0
0
ci´on de probabilidad inicial π 0 π , π ,... , π .Despu´es de transcurrida
0
n
1
la primera unidad de tiempo, la cadena se encuentre en cualquiera de sus
1
1
1
posibles estados de acuerdo a la distribuci´on π 1 π , π ,... , π ,en donde
0
1
n
la j-´esima entrada de este vector es
π 1 j P X 1 j
n
P X 1 j X 0 i P X 0 i
i 0
n
0
π p ij .
i
i 0
0
1
Es decir, el vector π se obtiene a partir del vector π yde la matriz de
0
probabilidades de transici´on P atrav´es de lamultiplicaci´on π 1 π P,esto
es,
p 00 p 0n
1
0
π ,... , π 1 n π ,... , π 0 . . . . . . .
0
n
0
p n0 p nn
1
2
Asu vez elvector π se transforma en el vector π atrav´es de la ecuaci´on
2
0
1
π 2 π P π P ,y as´ısucesivamente. En general, para m 1,
m
0
π m π m 1 P π P . (3.5)
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