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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 260 — #266
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260 8. Movimiento Browniano

2. Cuando n 3,el proceso es transitorio por vecindades, es decir,existe
una probabilidad positiva de que el proceso nunca regrese a lavecindad
del punto de partida.

Demostraci´on. Sean r 1 y r 2 dos radios tales que 0 r 1 r 2 ,y defina la
n
regi´on A x R : r 1 x r 2 como se muestra en la Figura 8.8. La
2
n
frontera de A es A x R : x r 1 ´o x r 2 ,y x x 2 x .
2
1

x

r 1 r 2

A

Figura 8.8

Suponga que el movimiento Browniano inicia en el origen y que en alg´un
tiempo posterior se encuentra en un punto x dentro de la regi´on A.Defina
la funci´on f x como la probabilidad de que el movimiento Browniano que
n
parte de x llegue a la circunferencia exterior x R : x r 2 antes que
n
alacircunferenciainterior x R : x r 1 .Es decir,si se define el
tiempo de paro
τ ´ınf t 0: B t D ,

entonces f x P B τ r 2 B 0 x .Esta funci´on puede tambi´en
escribirse como
f x E g B τ B 0 x ,
en donde g x : A R es la funci´on indicadora

1si x r 2 ,
g y
0si x r 1 .

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