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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 259 — #265
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8.6. Recurrencia y transitoriedad 259

Esto es, la probabilidad de que el movimiento Browniano unidimensional
regrese al cero para alg´un tiempo t dentro del intervalo t 1 , es uno,
sin importar la magnitud de t 1 .Ahora, una vez que regresa a cero,por
la propiedad fuerte de Markov, inicia en ese momento otro movimiento
Browniano que eventualmente regresar´a nuevamente a cero con probabilidad
uno. De esta manera regresar´a a cero una infinidad de veces conprobabilidad
uno. !

Esta propiedad de recurrencia significa que una trayectoria como la que se
muestra en la Figura 8.2 cruzar´a una infinidad de veces el eje horizontal, casi
seguramente. Puede uno tambi´en considerar que el movimiento inicia en un
punto cualquiera x obteni´endose la misma propiedad de recurrencia al punto
x.La siguiente conclusi´on es tambi´en muy interesante: hemos mencionado
antes que el proceso W t tB 1 t : t 0 , con W 0 0, es tambi´en un
movimiento Browniano. Ahora, dado que B t es cero para una infinidad de
valores de t en cualquier intervalo de la forma t 1 , ,se tiene entonces que
W t es cero una infinidad de veces dentro del intervalo 0, 1 t 1 .Es decir,
en cualquier vecindad de t 0, las trayectorias del movimiento Browniano
cruzan el eje horizontal una infinidad de veces, casi seguramente. Esta misma
conclusi´on puede obtenerse directamente de la f´ormula reci´en demostrada
tomando t 2 0fijo y haciendo t 1 0, es decir,
2 t 1
P B t 0para alg´un t 0,t 2 l´ım 1 arctan 1.
t 1 0 π t 2 t 1
En el caso de dimensiones mayores la situaci´on es distinta.

Proposici´on 8.11 (Recurrencia y transitoriedad del movimiento
Browniano) Sea B t : t 0 un movimiento Browniano n-dimensional
n
que inicia en el origen, y sea el disco D x R : x r ,para alg´un
r 0.

1. Cuando n 2,con probabilidad uno el movimiento Browniano visita
la vecindad D en una infinidad de tiempos no acotados. Esto es, el
proceso es recurrente por vecindades. Sin embargo no es recurrente
puntual, pues la probabilidad de que regrese exactamente al punto de
partida es cero.

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