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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 243 — #249
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8.1. Definici´ on 243

son inde-
Esto demuestra que las variables B t 1 ,B t 2 B t 1 ,... ,B t n B t n 1
pendientes, cada una de ellas con distribuci´on normal con los par´ametros
mencionados. !

Se dice que un movimiento Browniano es est´andar cuando σ 2 1. A trav´es
2
del cambio de variable τ σ t un movimiento Browniano no est´andar
puede convertirse en uno est´andar. Entonces, a menos que se especifique
lo contrario y sin p´erdida de generalidad, a partir de ahora supondremos
que el movimiento Browniano es est´andar, es decir, el incremento B t B s
tiene distribuci´on N 0,t s .Puede demostrarse que los siguientes procesos
tambi´en son movimientos Brownianos.

a) W t B t : t 0 .
1
b) W t B 2 : t 0 , con c 0constante.
c c t
c) W t tB 1 t : t 0 , con W 0 0.
d) W t B t 0 t B t 0 : t 0 , con t 0 0fijo.

Funci´on de probabilidad de transici´on
Ala funci´on p t, x, y definida por (8.1) se le llama funci´on de probabilidad
2
de transici´on del movimiento Browniano de par´ametro σ .En particular,la
probabilidad de que un movimiento Browniano que inicia en x se encuentre
en un conjunto A R (apropiadamente medible) despu´es de t unidades de
tiempo es
p t, x, A p t, x, y dy.
A
Hemos hecho ´enfasis en la tercera propiedad que aparece en lasegunda
definici´on del movimiento Browniano, pues ´esta tiene la ventaja de que
proporciona una expresi´on expl´ıcita para la probabilidaddel conjunto de
trayectorias Brownianas que cumplen las condiciones de encontrarse en el
conjunto A 1 al tiempo t 1 ,estar en el conjunto A 2 al tiempo posterior t 2 ,
etc´etera. La condici´on de que el movimiento Browniano inicie en el origen
no es absolutamente necesaria. Pueden considerarse trayectorias Brownianas
que inicien en un punto x cualquiera a trav´es del proceso x B t : t 0 ,
el cual se denota a veces por B t x : t 0 para recordar la posici´on de

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