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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 246 — #252
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246 8. Movimiento Browniano

El siguiente resultado no trivial se debe a Paul L`evy y establece condiciones
que caracterizan de manera ´unica al movimiento Browniano ent´erminos de
la propiedad de martingala.
Teorema 8.1 (Teorema de caracterizaci´on de Paul L`evy) Un proceso
X t : t 0 es un movimiento Browniano si, y s´olo si, tiene trayectorias
continuas, empieza en cero, y tanto X t : t 0 como X t 2 t : t 0 son
martingalas.

El movimiento Browniano B t : t 0 cumple claramente cada una de las
condiciones mencionadas, aunque posiblemente no sea tan evidente que el
proceso B t 2 t : t 0 sea tambi´en una martingala, ello no es dif´ıcil de ve-
rificar y se deja como ejercicio. La parte fuerte de esta caracterizaci´on radica
en que estas condiciones determinan un movimiento Browniano. Usando la
caracterizaci´on de Paul L`evy puede demostrarse que los procesos definidos
en los incisos (a), (b), (c) y (d) de la p´agina 243 son movimientos Brownia-
nos.

El movimiento Browniano
como l´ımite de una caminata aleatoria
Considere una caminata aleatoria sim´etrica simple sobre Z que inicia en
ξ n ,en donde ξ 1 , ξ 2 ,... son varia-
el origen, es decir, sea X n ξ 1
bles aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas tales que P ξ
1 P ξ 1 1 2. Sabemos que E ξ 0y Var ξ E ξ 2 1.
Suponga que la unidad en la variable tiempo es ahora de longitud ∆t 1 N,
con N entero. El objetivo es hacer ∆t cada vez m´as peque˜no. Para lograr
una versi´on discreta del movimiento Browniano es necesariohacer tambi´en
un cambio en la escala en el tama˜no de los saltos, ahora no ser´an unita-
rios sino de longitud ∆t,m´as adelante explicaremos las razones de esta
elecci´on. Defina ahora la caminata aleatoria

W n∆t ∆t ξ 1 ∆t ξ n , n 1.
una de cuyas trayectorias aparece en la Figura 8.3. Dada la simetr´ıa de la
caminata, sigue cumpli´endose que E W n∆t 0. La raz´on por la que se
ha tomado esa nueva escala en el tama˜no de los saltos es que conellose
logra similitud con el movimiento Browniano est´andar al cumplirse tambi´en
que para cualquier valor de n,Var W n∆t n∆t Var ξ n∆t.Puede de-
mostrarse que cuando ∆t 0esta caminata tiende (en alg´un sentido) aun

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