Page 255 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 247 — #253
✐ ✐

8.2. Propiedades b´ asicas 247

proceso a tiempo conti-
nuo con trayectorias con-
tinuas. El proceso l´ımite 3 ∆t
resultante es el movimien-
2 ∆t
to Browniano est´andar. Es-
ta aproximaci´on del mo- ∆t
vimiento Browniano como
∆t 2∆t 3∆t 4∆t 5∆t 6∆t 7∆t 8∆t
l´ımite de una caminata ∆t
aleatoria sugiere un meca-
2 ∆t
nismo para simular trayec-
Figura 8.3
torias Brownianas por com-
putadora: se escoge ∆t
peque˜no y N el n´umero de
puntos que se deseen graficar. Se generan entonces N valores independientes
de la variable ξ con distribuci´on uniforme en el conjunto 1, 1 ,y se grafi-
ca la sucesi´on de puntos k∆t, W k∆t ,para k 0, 1,... ,N.En la pr´actica
suelen generarse valores continuos para ξ con distribuci´on normal est´andar.
Este es el mecanismo seguido para generar la gr´afica de la Figura 8.2 y las
otras trayectorias Brownianas que aparecen en este cap´ıtulo.

Difusi´on
Suponga que se coloca una part´ıcula al azar en la recta real deacuerdo a una
densidad de probabilidad f y .Suponga ahora que esta part´ıcula se mueve
siguiendo un movimiento Browniano est´andar unidimensional. Entonces la
densidad de probabilidad de la posici´on de la part´ıcula despu´es de t unidades
de tiempo es la funci´on f t, x dada por

f t, x f y p t, y, x dx f y p t, x, y dx,

en donde para la segunda igualdad se ha hecho uso de la identidad p t, y, x
p t, x, y ,pero ahora esta ´ultima expresi´on adquiere una interpretaci´on in-
teresante, pues corresponde a la esperanza de la variable f B t para un
movimiento Browniano que inicia en x,es decir, f t, x E f B x .Aes-
t
x
ta funci´on tambi´en se le denota por E f B t ,y puede demostrarse que
satisface la ecuaci´on
1 2
f t, x f t, x .
t 2 x 2

✐ ✐

✐ ✐