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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 185 — #191
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6.4. Teoremas de renovaci´ on 185

Los dos eventos del lado izquierdo tienen probabilidad uno, por lo tanto
la intersecci´on tambi´en, y ello implica que el lado derechotambi´en tiene
probabilidad uno. !

El siguiente resultado establece la forma en la que la variable N t crece a
infinito. Observe que el cociente N t t es una variable aleatoria que cuenta
el n´umero de renovaciones por unidad de tiempo efectuadas hasta el tiem-
po t.Demostraremos a continuaci´on que cuando t la aleatoriedad
desaparece y el cociente se vuelve constante.

Teorema 6.1 (Teorema elemental de renovaci´on) [J. L. Doob, 1948]
Para un proceso de renovaci´on en donde E T µ,con 0 µ ,setiene
que
N t 1
l´ım c.s.
t t µ
Demostraci´on. Para cualquier t 0se cumple W N t t W N t 1 .Por
lo tanto,
t 1
W N t W N t 1 N t
.
N t N t N t 1 N t
Cuando t tiende a infinito ambos extremos de estas desigualdades convergen
a µ casi seguramente. Por lo tanto el t´ermino de en medio tambi´en. !

Otra forma de interpretar el resultado anterior es diciendo que N t crece a
infinito cuando t alamisma velocidad que lafunci´onlineal t µ.Ahora
veremos que la esperanza de N t tiene el mismo comportamiento.

Teorema 6.2 (Teorema elemental de renovaci´on) [W. Feller, 1941]
Considere un proceso de renovaci´on en donde E T µ,con 0 µ .
Entonces
Λ t 1
l´ım .
t t µ

Demostraci´on. Por la identidad de Wald,

E W N t 1 E N t 1 E T Λ t 1 µ.
Obteniendo de esta identidad el t´ermino Λ t ydividiendo entre t se obtiene

Λ t 1 1 1
E W N t 1 t .
t µt µ t

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