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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 184 — #190
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184 6. Procesos de renovaci´ on y confiabilidad

proceso de renovaci´on crece a infinito con probabilidad uno cuando el tiempo
crece a infinito.

Proposici´on 6.7 Para todo proceso de renovaci´on, l´ım N t c.s.
t

Demostraci´on. Recordemos la igualdad de eventos N t n W n t .
Entonces para cualquier n natural,

1 l´ım F W n t
t
l´ım P W n t
t
l´ım P N t n
t
P l´ım N t n .
t
Para la ´ultima igualdad se ha utilizado el hecho de que la funci´on t N t es
mon´otona no decreciente. Como el resultado demostrado valepara cualquier
1. !
valor de n natural, se tiene que P l´ım N t
t
Por lo tanto, cuando t tiende a infinito el n´umero de renovaciones N t tambi´en
crece a infinito. Por otro lado, el tiempo que le toma al procesollegar al valor
ytambi´en crece a infinito. El siguiente resultado estableceque
N t es W N t
alargoplazo habr´a una renovaci´on cada µ E T unidades de tiempo, en
donde, dada la id´entica distribuci´on, la variable T representar´a cualquiera
de los tiempos de interarribo en un proceso de renovaci´on.

Proposici´on 6.8 Para un proceso de renovaci´on N t : t 0 en donde
E T µ,con 0 µ ,se cumple

l´ım W N t µ c.s.
t N t

Demostraci´on. Para valores enteros de n,por la ley fuerte de los grandes
n´umeros, W n n µ casi seguramente cuando n .Ahora observe la
contenci´on de eventos

W n W N t
µ N t µ .
n N t

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