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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 187 — #193
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6.4. Teoremas de renovaci´ on 187

Teorema 6.3 (Teorema de renovaci´on) [D. Blackwell, 1948] Si F t
es no aritm´etica, entonces para cualquier h 0,

h
l´ım Λ t h Λ t .
t µ

Si F t es aritm´etica con base d,entonces para cualquier natural n,

nd
l´ım Λ t nd Λ t .
t µ

Ejemplo 6.7 Para el proceso de Poisson se tiene que la funci´on incremento
alaque hace referencia el teorema de renovaci´on de Blackwell en realidad
es una constante pues,

h h
Λ t h Λ t λ t h λt λh .
1 λ µ

Teorema 6.4 (Teorema clave de renovaci´on) [W. L. Smith, 1953]
Sea A t la soluci´on a la ecuaci´on de renovaci´on

t
A t H t A t s dF s ,
0
en donde H : 0, es una funci´on directamente Riemann integrable.
Si F t es no aritm´etica,

1
l´ım A t H t dt.
t µ 0

Si F t es aritm´etica con base d,entonces

d
l´ım A t nd H t kd .
t µ
k 0
Puede demostrarse que los teoremas de Smith y Blackwell son equivalentes,
yque cualquiera de ellos implica el teorema elemental de Feller.

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