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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 166 — #172
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166 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

b) Si X t n,entonces cada uno de estos elementos puede dar nacimiento
aun nuevo elemento durante unperiodo de longitud infinitesimal h
0con probabilidad λh o h ,en donde λ 0, es decir,

n n 1
P X t h X t 1 X t n λ h o h 1 λ h o h
1
λnh o h .

Es decir, las tasas instant´aneas de nacimiento son λ n λn,que crecen de
manera lineal conforme la poblaci´on crece. El tiempo de estancia en el estado
n tiene distribuci´on exp λn ,en consecuencia eltiempo medio de estancia
en ese estado es λn 1 ,cada vez menor conforme n crece. El sistema de
ecuaciones prospectivas para p kn t ,con n k,se reduce a

p kk t λkp kk t ,
p kn t λ n 1 p k,n 1 t λnp kn t , n k 1.

La f´ormula recursiva (5.12) es, para n k 1,

t
p kn t λ n 1 e λnt e λns p k,n 1 s ds. (5.13)
0

Demostraremos a continuaci´on que el incremento X t X 0 tiene distribuci´on
binomial negativa de par´ametros r, p ,con r k y p e λt .

Proposici´on 5.7 Las probabilidades de transici´on para el proceso de Yule
son
n 1
p kn t e λkt 1 e λt n k , para n k.
n k

Demostraci´on. Usaremos inducci´on sobre n.Para n k se tiene la
ecuaci´on diferencial p t λkp kk t ,con condici´on inicial p kk 0 1.
kk
Esto produce la soluci´on p kk t e λkt ,que es de la forma enunciada.Para

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