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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 163 — #169
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5.4. Procesos de nacimiento y muerte 163

Obien,

1 o h
p ij t h p ij t λ i p i 1,j t µ i p i 1,j t λ i µ i p ij t .
h h
Tomando el l´ımite cuando h 0se obtiene el sistemade ecuaciones dife-
renciales que hemos llamado retrospectivo

p 0j t λ 0 p 1,j t λ 0 p 0j t ,
p ij t λ i p i 1,j t µ i p i 1,j t λ i µ i p ij t , i 1.

As´ı, esta ecuaci´on puede leerse, o bien pueden verificarse sus coeficientes y
sub´ındices, a partir de lo que sucede en un intervalo infinitesimal al inicio del
intervalo: hay un nacimiento (factor λ i )y entonces el proceso debe transitar
de i 1a j,o hay una muerte (factor µ i )y entonces el proceso debe pasar
de i 1a j,o bien no hay nacimientos ni decesos (factor 1 λ i µ i
pero omitiendo el 1) y entonces la cadena debe pasar de i a j.De esta
manera pueden verificarse los sistemas retrospectivos que hemos mencionado
antes. Para el sistema prospectivo y considerando nuevamente un proceso
de nacimiento y muerte, se considera la descomposici´on:

0,t h 0,t t, t h .

Ahora el intervalo de longitud infinitesinal h se encuentra en la parte final del
intervalo de tiempo completo. Nuevamente por la propiedad deincrementos
independientes y estacionarios, cuando h 0,

p ij t h p i,j 1 t λ j 1 h p i,j 1 t µ j 1 h p ij t 1 λ j h µ j h o h .

Reescribiendo esta ecuaci´on para que en el lado izquierdo aparezca una
prederivada, tomando l´ımite cuando h 0e imponiendo condiciones adi-
cionales para la convergencia de la prederivada se obtiene laecuaci´on dife-
rencial prospectiva

p i0 t λ 0 p i0 t µ 1 p i1 t ,
p ij t λ j 1 p i,j 1 t µ j 1 p i,j 1 t λ j µ j p ij t .

La lectura de los coeficientes y sub´ındices es similar a la anterior: la cadena
pasa de i a j 1y despu´es hay instant´aneamente un nacimiento (factor

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