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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 164 — #170
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164 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

λ j 1 ), o la cadena transita de i a j 1y despu´es hay instant´aneamente una
muerte (factor µ j 1 ), o bien la cadena pasa de i a j yno hay nacimientos
ni muertes (factor 1 λ j µ j pero omitiendo el 1).

Proceso de nacimiento puro
Cuando en un proceso de nacimiento y muerte los par´ametros dedecesos
µ 0 ,µ 1 ,... son todos cero,
se obtiene un proceso de
nacimiento puro. La matriz λ 0 λ 0 0 0
de par´ametros infinitesima- 0 λ 1 λ 1 0
G 0 0
les tiene la forma que se λ 2 λ 2
. . .
muestra en la Figura 5.5, en . . . . . .
donde, como antes, los pa-
r´ametros λ 0 , λ 1 ,... se cono-
cen como las tasas instant´a- Figura 5.5
neas de nacimiento.
En la Figura 5.6 se mues-
tra una trayectoria de este X t ω
proceso cuando inicia en el 3
estado cero. Por construc-
ci´on, el tiempo de estancia 2
en el estado i tiene dis-
1
tribuci´on exponencial con
par´ametro λ i .Las probabi- t
lidades de saltos son evi-
exp λ 0 exp λ 1 exp λ 2 exp λ 3
1cuan-
dentemente p ij
do j i 1, y cero en Figura 5.6
cualquier otro caso. Puede
demostrarse que los incrementos de un proceso de nacimiento puro son
independientes pero no son necesariamente estacionarios. Un proceso de
nacimiento puro puede tambi´en definirse mediante las siguientes probabili-
dades infinitesimales: cuando h 0,

a) P X t h X t 1 X t k λ k h o h .

b) P X t h X t 0 X t k 1 λ k h o h .
En general no es f´acil encontrar una f´ormula para las probabilidades de

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