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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 290 — #296
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290 9. C´ alculo estoc´ astico
la variable x,
2
b t, x b t, y 2 σ t, x σ t, y 2 K x y ,
yla condici´on de crecimiento en x,
b t, x 2 σ t, x 2 K 1 x 2 ,
para alguna constante K 0,entonces existeun proceso estoc´astico X t
soluci´on de (9.10) que es adaptado a la filtraci´on, tiene trayectorias conti-
2
nuas, es uniformemente acotado en L P ,es decir, sup 0 t T E X t 2 ,
yadem´as es ´unico en el sentido de indistinguibilidad.
En este caso a tal soluci´on se le llama soluci´on fuerte de la ecuaci´on es-
toc´astica. No presentaremos la demostraci´on de este resultado, simplemente
comentaremos algunos aspectos de los que consta la prueba completa. La
demostraci´on es semejante al caso determinista, y hace uso del m´etodo de
iteraciones de Picard. Mediante este m´etodo se define la sucesi´on de procesos
0
X X 0 ,
t
t t
n 1 n n
X t X 0 b s, X s ds σ s, X s dB s .
0 0
Para que estas iteraciones tengan sentido es necesario verificar que los inte-
grandos involucrados son efectivamente susceptibles de serintegrados res-
pecto de la diferencial respectiva. Para comprobar que tal sucesi´on de pro-
cesos es convergente se demuestra que, con probabilidad uno,esta sucesi´on
constituye una sucesi´on de Cauchy en el espacio de funcionescontinuas
C 0,T ,respecto de la norma uniforme X sup 0 t T X t .Dado lo an-
terior, existe entonces un proceso continuo X t ,talque con probabilidad
uno, X t n converge a X t de manera uniforme en el intervalo 0,T .Adicional-
2
mente puede demostrarse que el proceso l´ımite es L -acotado en 0,T ,y
n 2
que la convergencia X X t tambi´en es v´alida en L P .Tambi´en debe
t
demostrarse que el proceso l´ımite es efectivamente soluci´on de la ecuaci´on
estoc´astica. Para ello se toma el l´ımite en la ecuaci´on quedefine las ite-
raciones, y se verifica la convergencia uniforme en 0,T con probabilidad
uno, t´ermino a t´ermino. Los detalles de esta demostraci´onpueden encon-
trarse por ejemplo en [33]. Observe que el teorema anterior noestablece la
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