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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 292 — #298
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292 9. C´ alculo estoc´ astico

es decir, el proceso X t e B t satisface la ecuaci´on diferencial
1
dX t X t dB t X t dt,
2
1.A este proceso se lellama movimiento Brow-
con condici´on inicial X 0
niano geom´etrico.

Ejemplo 9.9 Demostraremos que el proceso X t B t 1 t es soluci´on
de la ecuaci´on estoc´astica

X t 1
dX t dt dB t ,
1 t 1 t

con condici´on inicial X 0 0.Sea f t, x x 1 t .El proceso X t
f t, B t cumple la condici´on inicial y por la f´ormula de Itˆo satisface la
ecuaci´on
1
dX t f t t, B t dt f x t, B t dB t f xx t, B t dt
2
B t 1
dt dB t
1 t 2 1 t
X t 1
dt dB t .
1 t 1 t

Ejemplo 9.10 Usando el m´etodo de igualaci´on de coeficientes resolveremos
la ecuaci´on

dX t X t dt e t dB t ,
con condici´on inicial X 0 0.Se busca un funci´on f t, x tal que el proceso
soluci´on pueda escribirse como X t f t, B t . Igualando los coeficientes de
esta ecuaci´on con los de la f´ormula de Itˆo,

1
dX t f t t, B t dt f x t, B t dB t f xx t, B t dt,
2
se obtiene el sistema de ecuaciones

f x t, x e t
1
f t t, x f xx t, x f t, x .
2

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