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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 287 — #293
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9.2. F´ ormula de Itˆ o 287

en donde el residuo R x puede escribirse como sigue

x
R x f t x t dt
x 0
1
1 θ f x 0 θ x x 0 x x 0 2 dθ.
0

La segunda igualdad se obtiene despu´es de un evidente cambiode variable.
Por lo tanto, si 0 t 0 t 1 t n t es una partici´on de 0,t ,entonces

n
f B t f B 0 f B t k f B t k 1
k 1
n
f B t k 1 ∆B k
k 1
1 n
1 θ f B t k 1 θ∆B k ∆B k 2 dθ.
0 k 1

Puede comprobarse que al tomar el l´ımite cuando n las sumas conver-
gen casi seguramente y entonces se obtiene la igualdad

t 1 t
f B t f B 0 f B s dB s 1 θ f B s ds dθ
0 0 0
t t
1
f B s dB s f B s ds.
0 2 0
Esta f´ormula es una versi´on estoc´astica de la regla de la cadena del c´alculo
diferencial usual, y es com´un escribirla en su forma diferencial del siguiente
modo:
1
df B t f B t dB t f B t dt.
2
Esta expresi´on debe entenderse en el sentido de su forma integral dada por
la f´ormula (9.9). Ilustraremos su uso mediante algunos ejemplos.

x . Entonces la f´ormula de Itˆo establece que
Ejemplo 9.5 Sea f x 1 2
2
1 2 1 2 t 1 t
B t B 0 B s dB s 1 ds.
2 2 0 2 0

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